Анне Вески родилась 27 февраля 1956 г. в эстонском городке Рапла.
Там же она окончила музыкальную школу, после которой поступила в Таллинский политехнический институт. По окончании обучения работала на заводе и была принята на работу в эстрадную студию при Филармонии, где стала выступать с ансамблем «Мобиле».
Первая эстрадная композиция (1980) — «Королева розового сада». В 1979—1981 годах Анне Вески пела в составе группы «Витамин», а в 1982—1983 годах выступала с ансамблем «Мюзик Сейф». В конце 1983 года она вошла в состав ансамбля «Нэмо». В 1984 году на международном музыкальном фестивале в Сопоте Анне Вески получила две премии: за песню Позади крутой поворот и за лучшее исполнение польской песни Полька.
В 1986 году впервые выходит в финал фестиваля «Песня года». Исполнительница песен «Позади крутой поворот», «Возьми меня с собой», «Радоваться жизни», «Милый, горячо любимый», «Межсезонье», «Продлись, счастье», «Ангелы здесь больше не живут», «А он мне нравится», «Листья желтые над городом кружатся», «Самба с Марадоной», «Прости за любовь».
